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一个从学校到学校,从未出校门的人,一个只会教书的人,一个从教三十多年的教书匠http://datong.smjy.net/list!newsDetail.do?newsId=19399&schoolCode=001245

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数学的主要两种思维形式  

2017-01-16 20:55:15|  分类: 灯下闲谈 |  标签: |举报 |字号 订阅

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        按照人们通常的理解,主要有三种思维形式:形象思维、逻辑思维和辩证思维。数学主要依赖的是逻辑思维,具体体现就是逻辑推理。人们通过逻辑推理,理解数学研究对象之间的因果关系,并且用抽象的术语和符号描述这种关系,形成数学的命题和运算结果,促进数学内部的发展。
        随着数学研究的不断深入,根据研究问题的不同,数学逐渐形成各个分支,甚至形成各种流派。即便如此,因为数学研究问题的出发点是一致的,逻辑推理规则也是一致的,因此,至少现在的研究结果表明,数学在整体上是一致的。为此,人们不能不为数学的这种整体一致性感到惊叹:数学似乎蕴含着某种类似真理的东西。
推理是对命题的判断,是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。这里所说的命题,是可供判断的陈述句,如果也用陈述句表述计算结果,那么,数学的所有结论都是命题。所谓有逻辑的推理,是指所要判断的命题之间具有某种传递性,更形象地说,就是有一条主线能把这些命题串联起来。据此,“凡人都有死,苏格拉底是人,所以苏格拉底有死”,这样的推断是有逻辑的;“苏格拉底是人苏格拉底有死,柏拉图是人柏拉图有死,所以凡人都有死”,这样的推理也是有逻辑的;但是,“苹果是酸的,酸是一种味道,所以苹果是一种味道”,这样的推理是没有逻辑的。基于上面的述说,本质上只有两种形式的逻辑推理,一种是归纳推理,一种是演绎推理。
        归纳推理 
        归纳推理是命题的适用范围由小到大的推理,是一种从特殊到一般的推理,比如上述的第二个推理。通过归纳推理得到的结论是或然成立的。
归纳推理包括不完全归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等。人们借助归纳推理,从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西,因此,除去通过计算得到的结果之外,数学的结论都是通过归纳推理得到的。也就是说,数学的结果是“看”出来的,而不是“证”出来的。虽然看出来的数学结果不一定正确,但指引了数学研究的方向。
        演绎推理 
        演绎推理是命题的适用范围由大到小的推理,是一种从一般到特殊的推理,比如上述的第一个推理。通过演绎推理得到的结论是必然成立的。
        演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理,按照假设前提和规定的法则来验证那些通过归纳推理得到的结论,这便是数学的“证明”。通过证明能够验证结论的正确性,但不能使命题的内涵得到扩张。也就是说,演绎推理能保证论述的结论与论述的前提一样可靠,但不能增添新的东西。
综上可见,数学之所以具有类似真理那样的合理性,或者说,数学之所以具有严谨性,正是因为数学的结论从产生到验证的整个过程,都严格遵循了上述两种形式的逻辑推理。但是,在我们现行的数学教学中,过分强调了演绎推理而忽略了归纳推理,过分强调了命题的证明而忽略了命题的提出以及对命题的直观理解。我们不能不思考这样的问题:无论是大学的数学教育,还是中小学的数学教育,是不是都应当创造出一些问题的情境,让学生自己发现一些对于他们而言是“新”的数学结论呢?
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