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滕义和的博客

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天才华裔数学家取得重大突破(转)  

2012-06-17 07:23:18|  分类: 读书、学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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首先看两个简单的等式:

35 = 19 + 13 + 3;77 = 53 + 13 + 11

这大概是数学上最容易理解的一种等式,任何受过初等教育的人都能轻易看懂,不过,在这两个简单的等式的背后,却隐藏着数学界最古老的未解之谜,无数天才数学家在证明中耗费了毕生精力,它就是被称为“数学王冠上的明珠”的“哥德巴赫猜想”。

大众熟知的哥德巴赫猜想,还有一个被称作“弱哥德巴赫猜想”的姐妹版本。“弱哥德巴赫猜想”要证明的是,可以将任意的奇数面呈三个质数之和(质数又叫素数:不能被其他数字除尽,除了1和它本身的数),就比如本文一开始所提到的35 = 19 + 13 + 3或者77 = 53 + 13 + 11。

据英国《自然》杂志网站5月14日报道,来自澳大利亚的天才华裔数学家陶哲轩在研究“弱哥德巴赫猜想”上取得突破,并有望最终解决这个世纪难题,他的文章将以《哥德巴赫的质数》为题发表。

“陶教授表示,他只是在关于哥德巴赫猜想的研究方面取得了渐进的发展,但并不是关键性的突破,并拒绝了大部分报纸的采访要求,”陶哲轩目前任教的美国加州大学洛杉矶分校媒体联络人对本报记者表示。

据他介绍,早前,这位年轻的教授接受了《科学美国人》的采访,但是他认为他们的文章将他的成果夸大成关键性突破,超出了他的预期。而在随后时代周报的采访中,大部分的现任数学家都拒绝就这一问题发表自己的言论。在他们看来,这个问题过于敏感和争议性大。对于大部分的数学家来说,目前他们只能无限地努力去摘这颗数学王冠上的耀眼明珠。

有关“强弱哥德巴赫”之谜

1742年6月7日,普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中,提出了自己的一个大胆猜想,信的全文如下:

“欧拉,我亲爱的朋友!

你用极其巧妙而又简单的方法,解决了千百人为之倾倒,而有百思不得其解的七桥问题,使我受到莫大的鼓舞,他一直鞭策着我在数学的大道上前进。

经过充分的酝酿,我想冒险发表一个猜想,现在写信给你征求你的意见。

我的问题如下:

随便取某一个奇数,比如77,它可以写成三个素数(即质数的另一个说法)之和:77=53+17+7。再任意取一个奇数461,那么461=449+7+5,也是三个素数之和。461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。

这样,我就发现:

任何大于5的奇数都是三个素数之和。

但是怎样证明呢?虽然任何一次实验都可以得到上述结果,但不可能把所有奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验,你能帮忙吗?”

读完歌德巴赫的信,欧拉被信中天才的猜想所吸引,同年6月30日欧拉在给歌德巴赫的回信中说:

“歌德巴赫,我的老朋友,你好!

感谢你在信中对我的颂扬!

关于你的这个命题,我做了认真的推敲和研究,看来是正确的。但是,我也给不出严格的证明。这里,在你的基础上,我认为:任何一个大于2的偶数,都是两个素数之和。不过,这个命题我也不能给出一般性的证明。但我确信它是完全正确的。”

后来,欧拉把他们的信公布于世,吁请世界上数学家共同谋解这个数论上的难题。当时的数学界把他们通信中涉及的问题,称为“歌德巴赫猜想”。

上述与现今的陈述有所出入,原因是当时的哥德巴赫遵照的是“1也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

如今,我们经常说的哥德巴赫猜想陈述为欧拉的版本,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

弱哥德巴赫猜想是关于偶数的强哥德巴赫猜想的另一版本,正如它的名字所标明的那样,如果强哥德巴赫猜想被证实,则弱哥德巴赫猜想也会是真的:一个奇数可以写成是三个质数之和,它足以被减去3然后得到强哥德巴赫猜想的偶数结果。

陈景润与“哥德巴赫猜想”

自哥德巴赫猜想推出200多年以后,尽管无数数学家为了解决这个猜想付出了艰辛的劳动,但是迄今为止,它仍然是一个没有被证明,也没有被推翻的“猜想”。

早在1900年,数学家希尔伯特把歌德巴赫猜想列入23个难题之中,介绍给20世纪的数学家们来解决。到了1921年,英国著名数学家哈代在哥本哈根召开的国际数学会上说:“歌德巴赫猜想的难度之大,可以与任何没有解决的数学问题相比拟。”

尽管如此,还是有许多数学家在这条道路上,勇于做出自己的贡献。不管是强哥德巴赫猜想还是弱哥德巴赫猜想,无数数学家用自己的努力一点一点堆积证明的结果。

关于每一个奇数可以写成三个质数之和的猜想称为“弱哥德巴赫猜想”,1937年, 苏联数学家维诺格拉多夫充分证明足够大的奇数是三个质数之和,随后英国数学家艾斯特曼在1938年证明几乎全部的偶数是两个质数之和,维诺格拉多夫原来所证明的“足够大的”后来被数学家们将下限减少为足够大的偶数是一个素数和不超过两个素数的乘积之和。

1966年,我国数学家陈景润,成功地证明了“1+2”,也就是“任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”。这是迄今为止,这一研究领域最佳的成果,距摘取这颗“数学王冠上的明珠”仅一步之遥,在世界数学界引起了轰动。“1+2”也被誉为陈氏定理。

“在哥德巴赫猜想问题上,陈景润的成果目前无人能敌。陈氏定理把解析数论的方法几乎发挥到极至,”南京大学数学系教授孙智伟在给时代周报的回复上,发表了自己的看法。

陶哲轩的突破

实际上,如今的数学家们已经证明,如果强哥德巴赫猜想的反例存在的话,它们应该在数字接近无穷大时变得越来越少。在弱哥德巴赫猜想中,20世纪30年代的一个经典理论说猜想的反例是有限的。换句话说,弱哥德巴赫猜想对于“足够大的数字”来说是正确的。

一直以来,数学家用计算机来校验这两个阐述,直至19位数,还没找到反例。这个数越大,就有越多的方法来将它写成另外两个数的和—更不用说是写成三个了。所以弱哥德巴赫猜想在数字越大时越准确。

直到今天,尽管大量的计算机测试已经发现这些猜想没有反例,但还没有办法证明。

不过,当代天才数学家陶哲轩发表了哥德巴赫猜想的部分解决方式。

生于澳大利亚阿德莱德的陶哲轩是著名的澳籍华人数学家,他主要研究调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论和表示论,现任教于美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)数学系,是澳洲惟一荣获数学最高荣誉“菲尔茨奖”的澳籍华人数学教授,是继1982年的丘成桐之后获此殊荣的第二位华人。

2012年2月1日,陶哲轩在arXi上发表了一篇名为“每个大于1的奇数都可以写成五个质数之和”的论文。尽管在这个领域大量的成果已经被发表,但是如果陶哲轩的成果通过了高水平的数学家的审查的话,将会是最强而且是最令人满意的。

此前陶哲轩就他的成果在博客上发表了一个简要的大纲,他提到他的论文利用了哈代圆法,这是一个被频繁使用与分析数论的方法,由英国数学家哈代和利特伍德在20世纪20年代提出,但是这一方法主要以哈代早期与印度数学家拉玛努金的工作为基础。

陶哲轩的原稿囊括了大量他自己的令人印象深刻的研究,他小心翼翼地注明了他引用的大量的当代其他数学家的成果(参考目录包括了39项参考)。他引用了让·布尔干、陈景润、蒙哥马利、古尔东、希尔伯特、维诺格拉多夫、廖明哲和王天泽的关键的成果。正如牛顿曾经坦承的那样:“我看得更远是因为我站在巨人的肩膀上。”

陶哲轩将基于计算机基础上的足够小的数字与足够大的数字结合在一起。通过证明早期的结论并加以许多细微的调整,陶哲轩说只要他可以使用五个质数,他可以将两个有效的范围重叠。

下一步,陶哲轩希望延伸他的探索,并且证明三个质数满足所有的例子。但这无助于强哥德巴赫猜想。弱哥德巴赫猜想相较而言更简单,陶哲轩说,因为要将一个数字分解为三个数字之和“有太多的机会获得好运,使三个数字都是质数”。因此在哥德巴赫死后300年,没有一个人有解决他提出的这一巨大挑战的策略。

不管陶哲轩最终是否会解决这个困扰数学家们将近300年的问题,但他的成果仍然令人感到兴奋不已。正如陶哲轩此前接受采访时所说的那样,达到梦寐以求的成果将会使得数学家将思想运用于现实生活当中,例如加密敏感数据。

 

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