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滕义和的博客

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数学中要重视观察、抽象和思考  

2012-03-16 23:36:16|  分类: 我的成果 |  标签: |举报 |字号 订阅

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对于不同时期,不同认知层次,数学起点是不一样的,既有以已有数学为起点,也有以对新问题进行数学思考为起点。

初学时期,如从上小学开始接受数学教育,接触数字,他(她)从此走入了数学的王国。因此,对于这个时期来说,数学的起点是从学习已有的数学知识开始的。也就是他的数学的起点是既有数学系统。

但对另外一部分人某一时期,他的数学的起点是数学外部——对新问题进行数学思考。

对于笛卡尔来说,当他发现数学系统中缺乏数与形结合的时候,他就将观察的角度从数学系统内部转向了数学系统的外部,开始对这外部世界展开观察、抽象和思考,从而以严谨的理性和逻辑将《解析几何》引入了数学系统的内部,由此开创了一个崭新的体系,极大地丰富了在此之前的数学系统,并为后世的理论创新和应用奠定了伟大的基础。这一时期他数学的起点是数学外部世界的观察(当然结合对数学内部的观察)。

对这种数学起点,观察、抽象和思考是极其重要的。笛卡尔在完成了解析几何的理论创建后,在其哲学著作里谈到了这个经历,得出的第一个结论是:不要相信任何已有的知识,暂且放下全部已有的概念,仅从最少的几个无需证明的概念开始进行新的思考进而完成全部的理论构建。只有这样,才能做到独立思考从而实现理论创新。

同样的情形对于高斯也是如此。他的正态分布的理论和数学模型不是从已有的数学知识推论出来的,而是在对测量中发生的随机误差进行仔细的观察和深刻的思考后,在假定的理想条件下,经过严密的数学形式分析构造出来的。这样的例子可以推及一切在数学领域做出了开创性工作的全部杰出的数学家。

所以,数学的起点归结为两个:一个是由既有知识构成的数学系统;另一个是通过对遇到的新问题进行观察、抽象和独立数学思考,从而获得的新的数学知识。但是,我认为,归根结底,人类的最原始的数学起点最终归结为一个:那就是对外部世界的观察、抽象和思考。因为这个起点正是一切新的数学知识得以产生的智慧源泉。

因此,对于我们数学教师而言,让学生学会观察、抽象和思考是极其重要的智力训练。


 

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